Círculos viciosos (Paradojas de la Lógica)

Hola chicos, bueno yo encontré esta información que me gustaría compartirla con ustedes… Ya se que esta un poquito larga pero está interesante…Ojala y les guste!!!

 

"Históricamente hablando, las Matemáticas y la Lógica han sido estudios completamente distintos. Las Matemáticas han estado relacionadas con la ciencia, y la Lógica con el griego. Pero ambas se han desarrollado en los tiempos modernos: La Lógica se le ha hecho más Matemática, y las Matemáticas más Lógica. El resultado es que ahora es imposible trazar una línea de separación entre las dos; en realidad las dos son una…La demostración de su identidad es, desde luego, cuestión de detalle: empezando con premisas de las que universalmente se diría que pertenecen a la Lógica y llegando por deducción a resultados que evidentemente pertenecen a las Matemáticas, encontramos que no hay punto por el cual se pueda trazar una línea a cuya izquierda quede la Lógica y a su derecha las Matemáticas"

Esto escribía Bertrand Russel en 1919. A pesar de que todavía hay muchos matemáticos que se niegan a admitir la identidad de las Matemáticas y la Lógica, como Russell indica hay muchas pruebas del estrecho parentesco que existe entre ambas ciencias. Todo el que haya tenido la suerte de estudiar Geometría plana con un buen profesor, se debe haber dado cuenta de este parentesco, aunque desgraciadamente esas cosas están muy descuidadas en la mayoría de los cursos elementales. Lo cierto es que la relación entre las Matemáticas y la Lógica produzcan los efectos más intranquilizadores sobre las Matemáticas.

Los enfadosos problemas que suscitan las paradojas de la Lógica, en su mayor parte, se pueden seguir hasta una causa fundamental. Además, las paradojas, si no divertidas, por lo menos dan qué pensar. Por consiguiente, las examinaremos primee3ro sin tener en cuenta su significado matemático, y después volveremos a estudiarlas cuidadosamente.

 

1. Primera paradoja
   

 

Esta es la más vieja de la paradojas lógicas. Data del siglo VI A.C., en que Epiménides, el celebrado poeta y profeta de Creta, hizo su famosa observación: "todos los cretenses son mentirosos". Si hemos de encontrar algo paradójico en esta observación hemos de escribirla en la forma "todas las declaraciones que hacen los cretenses son falsas"

A primera vista esto no parece ser particularmente peligroso. Se parece a esas ociosas exageraciones en las que todos incurrimos, es decir en esas cosas como "esta noche se ven todas las estrellas" "este año no ha aparecido ningún libro que valga la pena" y "todos los tenderos de esta ciudad son unos ladrones". Pero "todas las declaraciones que hacen los cretenses son falsas" es mucho más que una exageración. Al igual que la fabulosa serpiente que de pronto se vuelve y empieza a morderse la cola. Las dificultades empiezan cuando se considera que Epiménides, fueron falsas y, en particular, la de que "todas las declaraciones que hacen los cretenses son falsas" es falsa, de modo que no todas las declaraciones que hicieron los cretenses eran falsas.

A esta altura probablemente estamos ya tan enredados en palabras que no sabemos dónde estamos. Desgraciadamente esa es una dificultad que se encuentra en todas estas paradojas. Su verdadero significado se pone de manifiesto pocas veces a la primera lectura, y hay que leerlas y releerlas hasta que queden claras. En este caso quizás nos ayude algo el poner el razonamiento en forma escalonada. Intentémoslo:

1. Todas las declaraciones que hacen los cretenses son falsas
   
2. La declaración a lo hizo un cretense
   
3. Por lo tanto, la declaración a es falsa.
   
4. En consecuencia no todas las declaraciones que hicieron los cretenses son falsas.
   

Las declaraciones a y d no pueden ser evidentemente ciertas las dos, y sin embargo la d se deduce lógicamente de la a. Por consiguiente la a se contradice a sí misma.

 

1. Segunda paradoja
   

 

Seguramente n hay persona que no haya utilizado en alguna ocasión el tan conocido proverbio de que "no hay regla sin excepción". Sin embargo, habrá probablemente pocos que se den cuenta de que esto se contradice a sí mismo.

Esta afirmación viene a ser una regla que dice que todas las reglas tienen su excepción. Pero si todas las reglas tienen su excepción, también ha de tenerla la de que "no hay reglas sin excepción". ¿Y cuál sería la excepción a esta regla? Pues únicamente podría ser una regla sin excepción. Y si existe una regla sin excepción, no todas las reglas tienen excepción.

Mejor será quizás que recurramos también esta vez a la forma escalonada.

1. No hay regla sin excepción
   
2. La afirmación a es una regla.
   
3. Por lo tanto, la afirmación a tiene excepciones
   
4. En consecuencia, no todas las reglas tienen excepciones.
   

 

1. Tercera paradoja
   

 

Otra paradoja que tiene su origen, real o legendario, en la antigüedad se refiere al sofista Protágoras, que vivió y enseñó en el siglo V A.C. Se dice que Protágoras hizo un arreglo con uno de sus alumnos según el cual este habría de pagarle su educación después de que hubiera ganado su primer caso. El joven terminó sus estudios, puso la tradicional placa anunciando su profesión y esperó la llegada de los clientes. No apareció ninguno. Protágoras se impacientó y decidió demandar a su antiguo alumno por la cantidad que le debía.

Razonaba Protágoras "o gano yo el proceso o lo ganas tú". Si lo gano yo, me tendrás que pagar en cumplimiento de la sentencia. Si lo ganas tú me tendrás que pagar para cumplir nuestro convenio. En ambos casos tendrás pues que pagarme".

"Ni mucho menos" replicó el joven. "Si gano yo, los tribunales no me obligan a pagarte". Si ganas tú, según nuestro convenio no tengo porqué pagarte. Por lo tanto en ningún caso tendré que pagarte"

¿Cuál de los dos razonamientos era el correcto? ¿Quién sabe?

 

1. Cuarta paradoja
   

 

Un forastero preguntó en una ocasión a un barbero si tenía mucha competencia. "Ninguna en absoluto" contestó el barbero. "De todos los hombres del pueblo, naturalmente que no afeito a los que se afeitan solos, pero afeito a todos los que no se afeitan solos".

Esta observación parece muy inocente hasta que nos paramos a pensar en el caso del barbero mismo. ¿Se afeita él solo o no? Supongamos que si, entonces hay que clasificarlo entre los que se afeitan solos. Por lo tanto no se afeita solo. Bien, pues supongamos que no se afeita solo; entonces hay que clasificarlo con los que no se afeitan solos, pero como el barbero afeita a todos los que no se afeitan solos, resulta que si se afeita solo.

He aquí una situación verdaderamente embarazosa, ya que si el pobre barbero se afeita solo, resulta que no se afeita, y si no se afeita resulta que si se afeita. ¡Ni dejándose crecer la barba podrá salir de este lío!

 

1. Quinta paradoja
   

 

Si queremos, podemos expresar todos los números naturales, en español corriente sin emplear símbolos numéricos. Por ejemplo, podemos expresar el 7 como "siete" o como "el séptimo entero" o como "el tercer número primo impar"; el 63 se puede expresar como "sesenta y tres" o como "siete por nueve"; el 7396 se puede expresar como "siete mil trescientos noventa y seis", o como "setenta y tres cientos más noventa y seis" o como "ochenta y seis al cuadrado".

Es evidente que para expresar cada entero se necesita utilizar un cierto número de sílabas, tanto mayor cuanto más alto sea el entero. Sin embargo, esta generalización no siempre es cierta. Por ejemplo, un número de 6.320.430 dígitos y se necesitarían entre 1.400 y 1.500 hojas de papel para escribirlo pero se puede expresar como "el número primo más grande que se conoce". Lo importante es darse cuenta de que para expresar todo entero se necesita un cierto número mínimo de sílabas.

Dividamos todos los números enteros en dos grupos, en el primero de los cuales incluiremos todos los que se pueden expresar con veintiuna sílabas o con menos, y en el segundo todos los que necesitan veintidós o más. Consideremos el segundo grupo. Entre todos los números que lo componen, con toda seguridad hay uno más pequeño que todos los demás, aunque a nosotros no nos interesa cuál pueda ser ese número. Es suficiente darse cuenta de que "el menor entero no designable con menos de veintidós sílabas", es un número determinado.

¿Pero y la frase entre comillas? ciertamente que es una manera de expresar en español el número más pequeño del segundo grupo, y esa frase no tiene más que veintiuna sílabas. Es decir que ¡el número entero más pequeño que no se puede designar con menos de veintidós sílabas, se puede designar con veintiuna sílabas!

Consideremos ahora todos los adjetivos del idioma español. Cada adjetivo tiene un cierto significado. En algunos casos ese significado se la aplica al adjetivo mismo; en otros no. Por ejemplo, "corta" es una palabra corta, pero "larga" no es una palabra larga; "española" es una palabra española, pero "francesa" no es una palabra francesa; "polisilábica" es una palabra polisilábica, pero "monosilábica" no es una palabra monosilábica, y así sucesivamente.

Puesto que el significado de un adjetivo ha de aplicársele a él mismo o puede no serle aplicable, podemos dividir todos los adjetivos en dos grupos, según este criterio. Así, si el significado del adjetivo le es aplicable a él mismo lo clasificaremos como "autológico" y si no se le puede aplicar los clasificaremos como "heterológico".

Pero veamos la palabra "heterológico". Esta palabra es un adjetivo que ha de ser por tanto autológico o heterológico. Pero si "heterológico" es heterológico, la misma afirmación de que "heterológico" es heterológico, implica que "heterológico" aplica a sí mismo. Y si se aplica a sí mismo ha de ser autológico según nuestra definición de la palabra "autológico". Por otro lado si "heterológico" es autológico, la afirmación de que "heterológico" es autológico y no heterológico, no se aplica a sí mismo. Y si no se aplica a sí mismo ha de ser heterológico de acuerdo con nuestra definición de la palabra "heterológico".

Esta situación es desconsoladora. Un adjetivo dado ha de ser evidentemente autológico o heterológico, pero no ambas cosas a la vez. Y, sin embargo, acabamos de ver como si el adjetivo "heterológico" es heterológico, no es heterológico si es autológico; y si es autológico no es autológico sino heterológico.

 

1. Análisis general de las paradojas
   

 

Pero por el momento, basta de ejemplos. Ya es hora de que nos paremos a meditar de dónde arrancan las dificultades, cuál es su naturaleza y cómo afectan a los matemáticos.

Nótese en primer lugar que todas esas paradojas tienen una característica común. Se refieren a afirmaciones acerca de "todos" los miembros de una cierta clase de cosas, y que o bien las afirmaciones o las cosas a las que esas afirmaciones se refieren, pertenecen a esas clases. Como esta característica común no es tan manifiesta en unos casos como en otros, más valdrá que repasemos todos nuestros ejemplos brevemente para hacerla destacar

"Todas las declaraciones que hacen los cretenses son falsas". Puesto que esa afirmación la hizo un cretense, pertenece a la clase de las declaraciones que hacen los cretenses. En este caso la característica es evidente, como también lo es en "no hay reglas sin excepción"

El problema de Protágoras y de su discípulo se refiere a la clase de todos los casos que ha de discutir en los tribunales el alumno. En esa clase queda incluido el caso constituido por la clase en sí.

El dilema del barbero de la aldea se refiere a la clase constituida por todos los hombre del pueblo que, o se afeitan solos o no se afeitan solos. Puesto que el barbero se afeita solo o no se afeita solo, evidentemente pertenece a esta clase.

El problema del "entero más pequeño" se refiere a la clase de todas las expresiones españolas utilizadas para designar números enteros. La frase "el menor entero no designable con menos de veintidós sílabas" es una expresión española para designar a un número entero y por lo tanto pertenece a la clase en cuestión.

Finalmente en la última paradoja que examinamos, la clase de todos los adjetivos, autológicos o heterológicos, es evidente que incluya al adjetivo "heterológico".

Es difícil evitar el círculo vicioso que surge cuando se hace una afirmación acerca de "todos" los miembros de una cierta clase y cuando la afirmación, o la cosa a la que la afirmación se refiere, es también miembro de esa clase. Ya en 1906 trató Bertrand Russell de soslayar esa dificultad por medio de lo que él llamó "teoría de los tipos lógicos". Mantenía que los entes lógicos, es decir las afirmaciones, reglas, cosas, etc. No son todas del mismo tipo, sino que constituyen toda una jerarquía de tipos que son radicalmente diferentes por muy similares que parezcan. Además, lo que se refiera a "todo" lo de una cierta clase de cosas no es del mismo tipo que las cosas mismas. Por ejemplo, en el caso de "todas las declaraciones que hacen los cretenses son falsas", las "declaraciones" en cuestión se refieren a cosas, pero la afirmación en sí, no se refiere a cosas, si no que es una declaración acerca de declaraciones con respecto a cosas. Por lo tanto, es una declaración de un tipo diferente que no se puede referir a sí misma, y no encierra por lo tanto ninguna contradicción. Análogamente en la regla "no hay regla sin excepción" "las reglas" a que se refiere son reglas acerca de cosas, sino una regla acerca de reglas con respecto a cosas.

La teoría de los tipos, tal como acabamos de describirla parece ser una forma muy segura y bastante sencilla de escapar de los molestos círculos viciosos. Sin embargo, en realidad las dificultades que encierra la paradoja son mucho más sutiles de lo que las hemos hecho parecer. Pero en esta vez de adentrarnos más en una discusión acerca de la teoría de los tipos, detengámonos a considerar el siguiente asunto en espera del cual, habrá tenido para ejercitar su paciencia más de uno. ¿Qué tienen que ver las paradojas lógicas con las Matemáticas? Trataremos de contestar a esa pregunta, por medio de otras tres paradojas más. Son diferentes a las que hemos examinado, en que afectan directamente a las Matemáticas, pero son del mismo tipo porque las contradicciones surgen esencialmente de la misma fuente.

 

1. Primera paradoja
   

 

La primera de las tres paradojas se refiere a los números transfinitos. Algunos ejemplos de números transfinitos son: A_1, el conjunto de los números naturales y el C el conjunto de los números reales. Hacemos notar que Cantor demostró que al igual que no hay ningún número natural mayor que todos los demás, tampoco hay ningún número transfinito mayor que todos los demás. Su demostración se apoya esencialmente en una de las propiedades de los números transfinitos enunciadas aquí: el número 2 elevado a una potencia transfinita engendra siempre un nuevo número transfinito mayor. Así 2 ^A1 = C, 2^C = un número transfinito todavía mayor, y así sucesivamente.

Pero consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos. Nos referimos a TODOS los conjuntos, es decir, todos los libros, todas las sillas, todas las plantas, todos los animales, todos los números (finitos o transfinitos, reales o imaginarios, racionales o irracionales), todas las cosas que existan o hayan existido en nuestro universo o en otro cualquiera, todas las ideas que usted o cualquier otro, vivo o muerto haya podido haber tenido, absolutamente todo lo que se pueda concebir queda comprendido dentro de este conjunto. Con toda seguridad que no hay ningún conjunto que pueda tener más elementos que éste, que es el conjunto de todos los conjuntos. Pero sí es ése el caso, el número transfinito de este conjunto es indudablemente el mayor de todos. Y, sin embargo, como ya hemos dicho, Cantor, demostró que ¡no existe un número transfinito mayor que todos los demás!

 

1. Segunda paradoja
   

 

Las dificultades que encierra nuestra segunda paradoja son semejantes a las que encontramos en la controversia autológica-heterológica.

Nótese primero que los conjuntos o son elementos de sí mismos o no los son. Por ejemplo, el conjunto de todos los entes es un ente, mientras que el conjunto de todos los hombres no es un hombre. El conjunto de todas las ideas es una idea pero el conjunto de todos los conjuntos (el conjunto de que nos ocupamos en la última paradoja) es un conjunto pero el conjunto de todos los libros no es un libro, etc.

Puesto que todo conjunto ha de ser, o bien un elemento de sí mismo, o no ha de ser un elemento de sí mismo, podemos, según ese criterio, dividir todos los conjuntos en dos grupos. Llamaremos S al conjunto de todos los conjuntos que son elementos de sí mismos. Y llamaremos N al conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos.

Fijémonos en N. Puesto que N es un conjunto, ha de ser elemento de sí mismo o no serlo. Es decir que N ha de ser un elemento de S o de N. Si N es un elemento de N, la misma afirmación de que N es un elemento de N dice que N es un elemento de sí mismo. Y si N es elemento de sí mismo, ha de ser elemento de S, que es el conjunto constituido por todos los conjuntos que son elementos de sí mismos. Por otro lado, si N es elemento de S la afirmación de que N es un elemento de S, dice que puesto que N es un elemento de S, no lo es de sí mismo, es decir de N.Y si N no es elemento de sí mismo ha de ser un elemento de N, que es el conjunto constituido por todos los conjuntos que son elementos de sí mismos.

Evidentemente que un conjunto dado ha de ser o bien elemento de sí mismo o no serlo, pero no ambas cosas a la vez. Dicho de otro modo, un conjunto dado ha de ser miembro de S o de N, pero no de S y N a la vez. ¡Y sin embargo acabamos de demostrar que si el conjunto N es un elemento de N, no es elemento de N, sino de N, sino de S; y si N es un elemento de S, no es un elemento de S, sino de N!

Este mismo razonamiento lo suelen presentar los matemáticos y los lógicos en una forma mucho más breve, que puede parecer más atractiva a los que se confundieron en la exposición que acabamos de dar. Es la siguiente:

Lamemos a un conjunto cualquiera X, y como antes sea N el conjunto constituido por todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. Entonces, la siguiente afirmación es cierta:

X es un elemento de N, únicamente si X no es un elemento de X. Es decir que X es un elemento del conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, si X no es un elemento de sí mismo, y únicamente en este caso. Puesto que X representa un conjunto cualquiera, y puesto que N es un conjunto podemos substituir N por X. La afirmación dirá entonces:

N es un elemento de N si y solamente si N no es un elemento de N.

También esto puede parecernos afirmar demasiado hasta las Matemáticas. Sin embargo, su importancia la evidencia la siguiente nota histórica. Gottlob Frege, matemático alemán, había pasado muchos años tratando de establecer una sólida base lógica para las Matemáticas. Su obra principal era un tratado de dos volúmenes sobre los fundamentos de la Aritmética, tratado en el que usaba libremente la noción de un conjunto de todos los conjuntos que tienen una propiedad dada. Puede dar idea del tiempo que empleó en escribir su obra el hecho de que el primer volumen se publicó en 1893 y el segundo en 1903. Cuando estaba a punto de aparecer el segundo volumen, Bertrand Russell envió a Frege la paradoja que acabamos de estudiar. Al final de su segundo tomo se dio Frege por enterado de esa comunicación en los siguientes términos:

"No hay nada que un hombre de ciencia pueda desear menos que ver cómo ceden los cimientos de su obra, cuando está a punto de terminarla. En esta situación me colocó una carta a Bertrand Russell, cuando el libro estaba a punto de salir de la imprenta"

Añadiremos que el empleo que Frege le dio a los términos "nada menos deseable", hacen que su observación sea una de las que más subestiman un estado de cosas, en todos los tiempos.

 

1. Tercera paradoja
   

 

La tercera de las tres paradojas que nos comprometimos a estudiar, es la llamada paradoja de Richard que lleva el nombre del que la ideó, J. Richard, matemático francés.

Antes de entrar en el razonamiento principal consideremos una simple analogía. Supongamos que el vocabulario español constará solamente de tres palabras, por ejemplo "ve" "el" y "gato". Evidentemente con esas limitaciones no podríamos manejar ideas que requirieran más de tres palabras. Por ejemplo, no podríamos desarrollar las que ahora nos ocupan. Esta conclusión puede parecer pueril pero la ha de alcanzar el razonamiento que sigue.

Todos los sistemas de lógica simbólica o de matemáticas constan de una colección de fórmulas, dándole a la palabra "fórmula" no el sentido matemático restringido, sino el más amplio. Es decir, que una fórmula es un símbolo cualquiera (incluyendo las letras del alfabeto, número, puntuación, etc.), o una palabra cualquiera, o definición, o afirmación, o teorema, todo lo que nos sirve para expresar ideas. No es difícil demostrar, valiéndose de la noción de correspondencia biunívoca que desarrollamos a propósito de los números transfinitos, que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todas las fórmulas de un sistema dado cualquiera y el conjunto de todos los números naturales. Dicho de otro modo, que el conjunto de todas las fórmulas tiene el número transfinito A_1.

La paradoja de Richard consiste en lo que equivale al siguiente problema ¿Cómo ha de bastar un sistema de lógica simbólica en el que el conjunto de todas las fórmulas tiene el número transfinito A_1, para la discusión y desarrollo de una rama de las matemáticas que maneje conjuntos cuyo número transfinito sea mayor que A₁? Y en particular ¿Cómo podemos ni siquiera hablar del conjunto de los números reales cuyo número transfinito C, se ha demostrado que es mayor que A₁?

 

Conclusiones

 

Hay que destacar de nuevo que las paradojas de la Lógica no son problemas tontos con los que pasan su tiempo los aficionados a la filosofía. Es cierto que para eso han servido durante centenares de años. Pero cuando a principios del siglo XX, Burali-Forti, Russell y Richard les pusieron un ropaje matemático y las exhibieron en esta forma, originaron una revolución, pero se puede decir lo suficiente para dar por lo menos una idea de las tendencias actuales.

Los que se ocupan en la actualidad de colocar los nuevos cimientos de las matemáticas, se pueden dividir en los siguientes tres grandes grupos: 1) el grupo logístico, acaudillado por el inglés Bertrand Russell; 2) el grupo axiomático, encabezado por el alemán David Hilbert; 3) el grupo intuicionista, encabezado por el holandés L.E. J. Brouwer.

El programa del grupo logístico es reducir las matemáticas a la Lógica simbólica, cosa que ya se podía pensar si recordamos que Russell propuso la teoría de los tipos, como medio de soslayar las contradicciones lógicas. Se han reconocido los defectos de esta técnica particular y se han hecho repetidas tentativas para modificarlas debidamente, pero todavía no es enteramente satisfactoria.

El programa del grupo axiomático es basar todas las matemáticas en un sistema fundamental de axiomas, es decir, suposiciones. Se han encontrado esos sistemas para importantes partes de las Matemáticas y sólo falta demostrar que esos sistemas son compatibles, es decir, que no pueden surgir contradicciones en los resultados que se deducen de ellos. En el caso de muchos de esos sistemas se ha demostrado que una contradicción que surgiera en alguno de ellos implicaría una contradicción en la Aritmética. Por lo tanto, el principal problema del grupo axiomático es el de demostrar que todos los axiomas de la Aritmética son compatibles, paro hasta ahora no se ha encontrado ninguna prueba satisfactoria.

Finalmente, el grupo intuicionista mantiene que ningún concepto matemático es admisible a menos que se pueda construir. Es decir, que no sólo debe existir el concepto de nombre, sino que hay que exhibir una construcción real de la cosa que el concepto representa. Pero, si la construcción ha de ser real, ha de constar de un número finito de pasos, o como indica la paradoja de Richard, de no más de A _1.Y en ese caso no tenemos derecho a hablar de una cosa como el conjunto de todos los números reales cuyo número transfinito es mayor a A_1.Esta actitud no es satisfactoria, ya que implica que hay que prescindir de muchos de los más poderosos y útiles métodos de las matemáticas.

¿Cuál de estos tres grupos tiene una actitud acertada? La respuesta es cuestión de gustos. Como en política, todos los individuos interesados en la controversia han de aliarse con el partido cuyo programa le parezca más razonable. Y por muy diferentes que sean los caminos, los tres grupos trabajan hacia el mismo fin, el de establecer las matemáticas sobre una base lógica inatacable. Es imposible predecir si se consiguiera alguna vez este ideal. Pero las controversias de las últimas décadas han hecho aparecer campos enteramente nuevos para la investigación, así como también métodos nuevos y efectivos en los campos trillados.