Análisis del flujo del tráfico

Sea una red de calles de un solo sentido en una sola ciudad grande. Se quiere analizar el flujo del tráfico. La dirección del tráfico en cada una de las calles, esta dada en la siguiente figura. En varios sitios se han colocado contadores, y el número promedio de carros que pasan por cada uno de ellos en el período de 1 hora, aparece también en la siguiente figura.

Las variables X1, X2…. X6 y X7, representan el número de carros por hora que pasan de la intersección A a la intersección B, de la intersección B a la intersección C, etc.
Primero determinamos los valores posibles de cada X. Asumiendo que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. En base a este supuesto obtenemos el siguiente sistema:

X1+X3= 800 (flujo de tráfico en la intersección A
X1-X2+X4= 200 (flujo de tráfico en la intersección B)
X2-X5= 500 (flujo de tráfico en la intersección C)
X3+X6= 750 (flujo de tráfico en la intersección F)
X4+X6-X7= 600 (flujo de tráfico en la intersección E)
-X5+X7= 50 (flujo de tráfico en la intersección D)

Para la resolución de este sistema de ecuaciones emplearemos el método Gauss-Jordan.

La matríz aumentada del sistema se reduce a:
El sistema correspondiente es:
X1= X6+50
X2= X7+450
X3= -X6+750
X4= -X6+X7+600
X5= X7-50
X6=X6
X7=X7

No son permitidos valores negativos para las Xi, ya que como las calles son en una sola dirección, un valor negativo de Xi, sería interpretado como el número de carros que van en contravía. Con esta restricción tememos X3= 750-X6≥0. O sea X6≤750. Igualmente X5=X7-50≥0, o sea X7≥50.
Supongamos ahora que la calle que va de D a E va a estar en reparación, por lo que se quiere que el tráfico en este espacio sea mínimo. Esto nos lleva a X7=50. Por consiguiente, X2=500 y X5=0. Recíprocamente si X5=, tenemos X7=50. Entonces, si cerramos la carretera entre C y D tendremos el mínimo tráfico posible entre D y E. Los flujos X1, X3, X4, y X6 no están determinados en forma única. Si toda la distancia de D a F estuviera en reparación, requeriríamos que X6 fuera mínimo, o sea cero. En este caso, X1=50, X3=750 y X4=650.