viernes, 18 de septiembre de 2009

APORTACIÓN. Mónica Farfán

Aportación de Mónica Farfán

Mi aportación trata sobre cómo calcular el número de peces que pueden sobrevivir en un lago después de darles cantidades determinadas de alimento, y se plantea como sigue:

Un departamento de caza y pesca estatal suministra 3 tipos de alimento a un lago que mantiene a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1, consume cada semana un promedio de una unidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y dos unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2, consume cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1, cuatro unidades del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento 1, una unidad del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 25,000 unidades del alimento 1, 20,000 unidades del alimento 2 y 55,000 unidades del alimento 3. Si se supone que todo el alimento es ingerido, ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?



Bueno, pues la solución la plantearé de la siguiente manera:
Si denotamos por X1, X2 y X3 el número de peces de cada una de las tres especies que son mantenidas por el sistema, utilizando la información en el problema vemos que X1 peces de la especie 1 consumen X1 unidades del alimento 1, X2 peces de la especie 2 consumen 3X2 unidades del alimento 1, y X3 peces de la especie 3 consumen 2X3 unidades del alimento 1.

Así pues, X1 + 3X2 + 2X3 = 25,000 igual al total de suministro semanal del alimento 1. Obteniendo una ecuación similar para cada uno de los otros dos alimentos, resulta el siguiente sistema.

X1 + 3X2 + 2X3 = 25,000
X1 + 4X2 + X3 = 20,000
2X1 + 5X2 + 5X3 = 55,000

Sacando la matriz de estas ecuaciones, podemos resolverla mediante el método de Gauss o bien mediante el método de Gauss-Jordan y obtenemos las siguientes operaciones: Aquí nos damos cuenta de que en la fila 3 de la columna 3 aparece un cero, y por lo tanto no se puede continuar, por lo que podríamos decir que el método se queda en Gauss, pero de este modo, si X3 se elige en forma arbitraria, tenemos una infinidad de soluciones dadas por:

40,000 – 5X3
X3 – 5,000
X3

Desde luego, debemos cumplir con las desigualdades:

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Y X3 ≥ 0

Como X2 = X3 – 5,000 ≥ 0, tenemos que X3 ≥ 5,000
Esto significa que 0 ≤ X1 ≤ 40,000 – 5 (5,000) = 15,000
Finalmente, ya que 40,000 – 5X3 ≥ 0, vemos que X3 ≤ 8,000

Esto significa que las poblaciones que pueden ser mantenidas por el lago son

X1 = 40,000 – 5X3
X2 = X3 – 5,000
5,000 ≤ X3 ≤ 8,000

Por ejemplo, si X3 = 6,000 entonces X1 = 10,000 y X2 = 1,000

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