ELISEO ANGULO CLASE DEL 31 DE OCTUBRE

ESPACIOS VECTORIALES

Definición:
Un conjunto R de elementos x, y, z, se llama espacio vectorial o espacio lineal si para cualesquiera dos elementos x e y del mismo esta definida la suma. También se debe de cumplir que para todo elemento; x € R y todo número real α esta definido el producto αx € R.


Espacio vectorial
x К
y 0 α
β γ

U

x
y

No espacio vectorial
Suma definida
Producto por una escalar definida
Se cumplen para un espacio vectorial las siguientes condiciones:

I) x + y = y + x para todo x e y € R (ley conmutativa)
II) (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z € R (ley de la asociatividad para la suma)
III) Existe un elemento nulo 0 € R para el cual se cumple x + 0 = x para todo x € R (ley del elemento nulo)
IV) Para todo x € R existe un elemento opuesto de x para el que se cumple que la suma de ambos es el elemento nulo.
V) Existe un elemento en el campo К para el que se verifica la siguiente identidad:
1 * x = x x € R1 € К
VI) Existen escalares α – β para los cuales se cumple que: α (βx) = (αβ) x (ley de asociatividad de escalares para la multiplicación)
VII) Existen vectores x e y y una escalar α para el que se cumple: α (x + y) = αx + αy (ley de la distributividad (con vectores))
VIII) Existen α y β € К y x € R tales que: (α + β ) x = αx + βx.









IV) x + y = 0 1.- elemento opuesto
x + z = 0 2.- elemento opuesto
x + y = x + z
y = z por lo tanto es el único elemento opuesto

III) x + 0 = x 1.- elemento nulo
x + 0 = x 2.- elemento nulo
x + 0 = x + 0
0 = 0

Definición de dimensión

La dimensión de un espacio es el número máximo de vectores linealmente independientes que este contiene.

2(1, 0, 0)
3(0, 1, 0) = Descomponer un vector en vectores base
5(0, 0, 1)
(2, 3, 5)

Definición de vectores linealmente independientes

Los vectores a1, a2, …, aК de un espacio lineal R se denominan lineal mente dependientes, si existen números α1, α2, …, αК no todos simultáneamente = 0 tales que se verifique lo siguiente:
α1a1 + α2a2 + … + αКaК = 0. Los vectores linealmente independientes cumplen esta relación, porque todos los alfaésimos son = 0 (αi = 0)

→ Al espacio vectorial también se le denomina espacio lineal ←

Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de un espacio ndimensional R se denomina base de este espacio. Una base del espacio tridimensional es:

(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)

Teorema:
Todo vector x de un espacio lineal ndimensional, se puede representar con una combinación lineal de los vectores de la base y además esta representación es única:

α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 0) = (0, 0, 0)
α1 + α2(0) + α3(0) = 0
α1 = 0 α2 = 0 α3 = 0 → linealmente independientes



α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(1, 1, 1) = 0
α1 + α3 = 0
α2 + α3 = 0
α3 = 0

α1(1, 0, 1) + α2( 2, 1, -1) + α3(1, 1, 1)
α1 + 2α2 + α3 = 0
α2 + α3 = 0
α1 – α2 + α3 = 0
3α2 = 0 α2 = 0
α3 = 0 = linealmente dependientes
α1 = 0

α1(1, 1, 1) + α2(2, 3, 3) + α3(-5, -5, -5) = 0
α1 + 2α2 - 5α3 = 0
α1 + 3α2 - 5α3 = 0
α1 + 3α2 - 5α3 = 0
α1 + 2α2 = 5α3
α1 + 3α2 = 5α3
α2 = 0
α1 = 5α3 -5(1, 1, 1) = (-5, -5, -5)