f(t) = t3-2t2-11t+12
encontrar los tiempos en los cuales la particula pasa al reposo. considerar que la variable tiempo se encuentra en el eje de las abscisas y la variable desplazamiento en el eje de las ordenadas.
planteamiento:
como en este caso el tiempo se ubica en el eje de las abscisas y razonando un poco podemos deducir que la particula pasa del movimiento al reposo en los momentos en que la curva que describe dicho movimiento corta al eje de las abscisas. lo cual nos indica que para ese tiempo en especifico no hay desplazamiento.
lo anterior lo podemos obtener mediante las soluciones de esta ecuacion si es igualada a cero porque lo que buscamos es el desplazamiento cero en cierto tiempo (que es nuestra incognita). esto lo podemos obtener de la siguente forma:
f(t) = t3-2t2-11t+12 =0
debemos evaluar el numero de soluciones que tiene esta ecuacion mediante la obtencion de sus raices con el metodo de los signoss de Descartes:
f(t) = t3-2t2-11t+12 los signos que estan subrayados en la expresion muestran
el cambio de positivo a negativo y de negativo a positivo.
por lo que nuestra expresion tiene dos posibles o cero raices positivas
evaluacion de f(-t) por regla de los signos de Descartes:
f(-t)= -t3-2t2 +11t+12 el elemento subrayado muestra el cambio de signo de nega-
tivo a positivo.
esto nos lleva a concluir que en nuestra expresion hay una posible raiz negativa.
de este la combinacion de raices y por lo tanto, de soluciones existentes puede quedar de esta manera:
| Raices positivas | 2 | 0 |
| Raices negativas | 1 | 1 |
| Raices complejas | 0 | 2 |
para hallar estas raices se deben evaluar los factores tanto del termino independiente como del monomio de mayor grado en division sintetica. en este caso el factor del monomio de mayor grado (t3) posee el coeficiente 1, por lo que sus factores son 1 y -1. en cuanto al termino independiente (12) observamos que tiene como factores 1,2,3,4,6,12 y -1,-2,-3,-4,-6,-12. por lo que estos son los posibles valores que el valor en el residuo de la division sintetica puede ser cero.
sabiendo esto se procede a hacer las divisiones con cada valor pero como se me complica mucho escribir las divisiones sinteticas en la computadora entonces procedere a sustituir cada uno de estos valores en la expresion original que para el caso se obtiene el mismo valor del residuo en cada division sintetica con los mismos valores.
t(1)=(1)3-2(1)2-11(1)+12=0
t(-1)=(-1)3-2(-1)2-11(-1)+12=20
t(2)=(2)3-2(2)2-11(2)+12=-10
t(-2)=(-2)3-2(-2)2-11(-2)+12=18
t(3)=(3)3-2(3)2-11(3)+12=-12
t(-3)=(-3)3-2(-3)2-11(-3)+12=0
t(4)=(4)3-2(4)2-11(4)+12=0
notese que ya se encontraron lo tres valores para los cuales el residuo es cero, por lo que ya tenemos las tres raices y las tres soluciones a nuestro problema, ya no tiene sentido practicar sustitucion para los valores faltantes ya que por la naturaleza del polinomio (tercer grado) y de acuerdo al teorema fundamental del calculo, el numero de raices que se podian encontrar en este polinomio son tres.
raices:t=1,t=-3,t=4.
CONCLUSION: Para estos tiempos el desplazamiento es cero por lo que la particula alcanza el reposo justo en esos puntos.
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