Para comenzar, debemos destacar que los elementos de los espacios vectoriales se llaman vectores. Sobre los vectores pueden utilizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que apegar a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes, estos teoremas son de fácil demostración como la siguiente:
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomatica se debe a Giuseppe Peano, a fines del siglo XIX. Los siguientes avances de la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios funcionales. Los problemas de análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría mas grande y complicada.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se emplean en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales.
Además los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas para así representar objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
Un ejemplo de aplicacion de planos y ecuaciones utilizando espacios vectoriales:
Determinar la ecuación de vectorial de la recta L, tal que:
1) L es paralela a la recta L1, tal que L1 es la recta de intersección de los planos
π : 2x + 3y - z = 2
π : - x + y + z = 1
2) L contiene el punto (1, 1, -5)
SOLUCION:
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