jueves, 1 de octubre de 2009

Clase de día 30 de septiembre

"La calidad de su educacion depende de ustedes mismos"

Hola chavos!!!
* Primero les dejo la tarea que debemos hacer para el lunes hagamos o no el exámen ese día.
* Buscar la primera formula de Euler que relaciona números complejos y propiedades trigonométricas.
1) Multiplicar los números ( 3+i)(-2-3i). Tomar una hoja de papel milimétrico. Graficar los numeros complejos y su resultado. Interpretar su resultado.
2) Dividir los mismos números. Tomar una hoja de papel milimétrico. Graficar los números y el resultado de la división. Interpretar su resultado.
COMENZAMOS EL TEMA DE NUMEROS COMPLEJOS:
Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros, la parte real, y la parte imaginaria.
Euler:
Cuando se suman dos números complejos la parte real es la suma de las partes reales de los complejos sumandos, y la parte imaginaria, es la suma de las partes imaginarias de los sumandos:
2 + 3i
3 + 5i
________
5 + 8i

Para restar los números complejos, se realiza de la siguiente manera:
2 + 3 i
- 3 + 5i Esto es, restamos la parte real menos la parte real
_________ y la imaginaria menos la imaginaria
-1 - 2i
En la multiplicación: (2+3i)(3+5i) = [6 - 15] i Aparece la parte real pero con signo contrario.
[9 + 10] i .-.9 +19;
Tanto en la suma como en la resta y la multiplicación, se puede dar el caso de quedar un número real o puramente imaginario = 0 + algo i.

A continuación, se abordó la división de números complejos. El objetivo definir a la división como la inversa de la multiplicación. La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador:
Para la división de: 2 + 3i/3 + 3i
*El conjugado de z se obtiene invirtiendo el signo de la parte imaginaria del vector z:
*Geométricamente, el vector z es la reflexión de z con respecto al eje real.
z= 3 + 5 (3, 5)



vector z= a -bi (3, -5)

Así como observación precedente, el numerador y el denominador se multiplican por el conjugado del denominador (Debido a que no puede haber imaginarios en el denominador):
2+ 3i / 3 + Ji - 3- 5i / 3 - Ji
[ 6+ 5 ] + [9 - 10]
----------------------------
[9 + 25]
= 21 - i / 3 = 21 / 34 - 1 / 34i
_____________//
Bien en éste ejemplo, sacamos el conjugado de 3 + Ji, efectuando la multiplicación tanto para denominador como divisor puesto que en el denominador no puede haber nunca numeros imaginarios, y de ésta manera pudimos resolverlo.
Ejercicio:
7 + i
----------------------
- 4 + 2i
Primero se observa que tenemos numeros imaginarios en el denominador por lo tanto hay que eliminarlos de la siguiente manera:
7 + i (-4 - 2 i) = [ -28 -2]
--------- ----------- ----------
-4 +2i (-4 - 2i) [ 16+ 4]
-26 (-18) i
------------
20
= -26 -18 = -13 - 9
---- ----- ---- ---
20 20 10 20
______//

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA i
Teniendo en cuenta que ,
si queremos calcular, por ejemplo
, dividimos 27 entre 4:
y vemos que: . i ^27= (i^4) ^6 * 1^3 = 1 * i^3 = -1
Luego la potencia de i con exponente "n" coincide con la potencia de i que tiene por exponente el resto de la división n entre 4.
Ejercicio:
i ^37 - 4 -4 + i ( -1 - i) (4 + i) (4-1) i
_________ = ____________= ____________
i^42 - 1^27 -1 + i (-1 - i) (1 + 1)
=5/2 + 3/2i
Esperando les sirva este resumen...
Saludos ...




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