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Los números complejos están “desordenados”

El cuerpo de los números complejos está formado por todos los números de la forma a + bi, siendo a y b números reales. La unidad imaginaria i tiene la siguiente propiedad:

i² = -1

Cuando a = 0 el número complejo se denomina imaginario puro y cuando b = 0 nos aparecen todos los números reales. Es decir: el cuerpo de los números complejos es una extensión del cuerpo de los números reales, ya que los contiene a todos.

En el cuerpo de los números reales podemos definir la relación de orden que todos conocemos: menor o igual que

que cumple que es un orden total, es decir, dados cualesquiera dos números reales x, y se tiene que x es menor o igual que y o que y es menor o igual que x.

Vamos con el título del artículo: ¿qué significa eso de que los números complejos están desordenados? Pues muy sencillo. Al igual que podemos definir un orden en el cuerpo de los números reales podríamos intentar hacer lo mismo con el cuerpo de los números complejos. Pero como los números reales son un subconjunto de los números complejos querríamos que el orden que definiéramos funcionara también en los reales. Pensando un poco vemos que la única posibilidad coherente es definir en los números complejos el mismo orden que en los números reales. El problema es que eso es imposible, es decir, ese orden no funciona en el cuerpo de los números complejos. Veamos por qué:

Supongamos que definimos para todos los números complejos a + bi el orden que definimos antes para los números reales. Evidentemente tendrá que cumplir las mismas propiedades. Por ejemplo, deberá ser total, es decir, para cualesquiera dos números complejos se debe cumplir que uno de ellos debe ser menor o igual que el otro. Veamos qué pasa si tomamos i y 0:

-Supongamos que i es menor o igual que 0:

Por las propiedades de la relación de orden sabemos que si multiplicamos a ambos lados por i la desigualdad cambia de sentido (al ser i en este caso un número negativo). Usando que i² = -1 y que i·0 = 0 queda:

Lo cual es imposible.

-Supongamos ahora que 0 es menor o igual que i:

Como ahora i es positivo si multiplicamos a ambos lados por él la desigualdad se debe mantener igual. Usando las mismas propiedades anteriores obtenemos:

Que como antes es absurdo.

Por tanto, como acabamos de ver, no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida. Por eso el título del post:

Los números complejos están desordenados